Geometrijska simetrija (u daljnjem tekstu simetrija) je svojstvo objekta koje postoji u prirodi i mnogim proizvodima koje je izradio čovjek. Simetrija je predmet istraživanja u područjima poput matematike, fizike, elektrotehnike, arhitekture, građevinarstva, biologije, te čak i filozofije. Iz perspektive strojarstva, mnogi dijelovi i sklopovi su simetrični kako bi zadovoljili zahtjeve funkcionalnosti i performansi. Na primjer, simetrija poboljšava stabilnost u sklopovima s rotirajućim dijelovima poput turbostrojeva i motora s unutarnjim izgaranjem. Tijekom montaže, mehanički dijelovi s višestrukom refleksijskom simetrijom obično zahtijevaju manje vremena za rukovanje i manje su podložni greškama pri sastavljanju uzrokovanim nepravilnom orijentacijom dijela. U numeričkoj analizi, simetrija se često koristi za smanjenje veličine računalnog modela, što posljedično rezultira smanjenjem računalnog zahtjeva same analize. U tehničkom crtanju simetrični dijelovi mogu se prikazati pola u presjeku, a pola u vanjskom pogledu, čime se pojednostavljuje i smanjuje broj potrebnih ortogonalnih projekcija na crtežu. Pored toga, kod kotiranja simetričnih dijelova ili značajki nije potrebno kotirati simetralu. Simetrija je korisna u proizvodnom procesu za određivanje ravnine razdvajanja kod štancanja i injekcijskog prešanja strojnih dijelova. Nadalje, iz perspektive oblikovanja pomoću računala, prisutnost ili nedostatak simetrije u pojedinačnim dijelovima ili sklopovima može biti važan čimbenik prilikom konstruiranja. Simetrično konstruirani dijelovi i (pod)sklopovi mogu znatno pojednostaviti proces oblikovanja pomoću računala. Na primjer, određene značajke ili cijeli geometrijski oblik trodimenzionalnog CAD (engl. Computer-aided design) modela, može se generirati značajkama zrcaljenja, kružnog ili linearnog uzorka. Drugi primjer je da se broj pojedinačnih zrcalno simetričnih dijelova u sklopnom CAD modelu može smanjiti zamjenom s jednim simetričnim dijelom. Na temelju navedenih primjera može se zaključiti da je simetrija važno svojstvo koje se vrlo često koristi u raznim područjima strojarstva, pa samim time i pri konstruiranju. Tijekom oblikovanja pomoću računala, kod simetrično izrađenih CAD modela, nerijetko se javlja zahtjev za potvrdom postojanja određene vrste simetrije. Pri tome je sama informacija o simetriji vrlo rijetko izravno pohranjena u izvornim CAD modelima, dok u neutralnim formatima za razmjenu (npr. STEP, IGS, itd.) u ovome trenutku uopće nije podržana pohrana informacije o simetriji. U iznimnim slučajevima, informacija o simetriji može biti neizravno pohranjena u izvornom CAD modelu. To se na primjer događa kada je konačni geometrijski oblik dobiven operacijom zrcaljenja u odnosu na ravninu simetrije. Zbog toga se u praksi još uvijek za otkrivanje informacije o simetriji uglavnom koristi vizualno prepoznavanje od strane inženjera. Međutim, vizualno prepoznavanje može biti zahtjevno i dugotrajno za složene geometrijske oblike ili pri analizi velikoga broja CAD modela pohranjenih u CAD repozitoriju. Isto tako, egzaktna simetrija u matematičkom smislu ne može se otkriti vizualnim prepoznavanjem niti u jednom CAD modelu, nego samo aproksimativna. Shodno tomu, drugi način za otkrivanje informacija o simetriji je upotrebom računalno potpomognute detekcije simetrije (RPDS), koja omogućuje automatsku identifikaciju ravnina, osi ili točaka simetrije u dvodimenzionalnim ili trodimenzionalnim digitalnim objektima. RPDS dobila je značajnu pozornost u strojarstvu, ali i u drugim područjima istraživanja poput matematike, računarstva, medicine, arhitekture i građevinarstva. U strojarstvu, RPDS je do sad korištena je u svrhu pronalaženja, kompresije i poravnanja CAD modela, oblikovanja proizvoda za montažu, te otkrivanje namjere konstruktora u skeniranim modelima tijekom procesa povratnog inženjerstva. U matematičkom smislu, objekt je simetričan ako ostaje invarijantan u odnosu na određene geometrijske transformacije kao što su refleksija, rotacija, translacija ili njihova međusobna kombinacija (npr. diedarska simetrija je kombinacija refleksijske i rotacijske simetrije). Prema mjerilu, simetriju se može podijeliti na globalnu, parcijalnu (djelomičnu) i lokalnu. Globalna simetrija označava da je cijeli digitalni objekt simetričan, dok parcijalna simetrija upućuje na to da je digitalni objekt globalno simetričan, ali da postoje određeni lokalni dijelovi geometrije koji nisu simetrični. Konačno, lokalna simetrija označava da je relativno mali dio geometrije ili da su samo određeni dijelovi digitalnog objekta simetrični. Kao što je već ranije spomenuto, simetrija može biti egzaktna (točna) ili aproksimativna (približna). Za razlikovanje spomenutih dviju vrsta simetrije koristi se određena funkcija udaljenosti d(M,T(M)), koja mjeri udaljenost između geometrijskog oblika M i njegove transformacije T(M). Funkcija udaljenosti se uspoređuje s određenom greškom ε, tako da je d(M,T(M))<ε. Ako je ε≅0 tada se simetrija može smatrati egzaktnom, u suprotnom aproksimativnom. Da bi se iz perspektive strojarstva neki CAD model smatrao egzaktno simetričnim, greška ε bi trebala biti reda veličine minimalnih tolerancija izrade strojnih dijelova, odnosno ε=10–6. Digitalni objekti koji su predmet istraživanja u okviru ovoga doktorskog rada jesu kruti CAD modeli s rubnim prikazom (engl. boundary representation, B-rep). Postojeći pristupi za RPDS u CAD modelima s rubnim prikazom uglavnom su ograničeni na analitičke površine (ravne, cilindrične, stožaste, sferne i toroidalne), iako isti često sadrže i numeričke površine (primjerice B-spline, ekstrudirane površine, zarotirane površine, itd.). Općenito se u kontekstu trodimenzionalnih digitalnih objekta pristupi RPDS-a temelje se na analizi geometrije ili prikaza. Pristup temeljen na analizi geometriji za detekciju simetrije koristi određena geometrijska svojstva digitalnog objekta (primjerice pozicije točaka u prostoru, zakrivljenost plohe, itd.), te se najčešće kao ulazni digitalni objekti koriste kruti CAD modeli, rešetkaste konstrukcije, voksel modeli, NURBS modeli, oblaci točaka, mrežasti modeli, itd. U nekim slučajevima vrši se dodatna obrada inicijalnog ulaznog digitalnog objekta, primjerice, inicijalni mrežni model se pretvara u voksel model ili oblak točaka. Pristup temeljen na geometriji omogućava detekciju aproksimativne i egzaktne simetrije. U pristupu temeljenom na pogledu, trodimenzionalni objekt se pretvara u dvodimenzionalni prikaz, kao na primjer, u sliku ili projekciju. Međutim, ovaj pristup ograničen je isključivo na otkrivanje aproksimativne simetrije što ga čini ne prikladnim za CAD modele s rubnim prikazom. Nadalje, prema načinu detekcije ravnina ili osi simetrije u digitalnom objektu, postoje dva pristupa u RPDS-u: eksplicitni i implicitni. Kod eksplicitnog pristupa se ravnine ili osi simetrije u digitalnom objektu pronalaze direktno. Implicitni pristup podrazumijeva da se za dani ulazni digitalni objekt identificira određeni broj kandidata za ravnine i/ili osi simetrije. Potom se ti kandidati evaluiraju s obzirom na geometriju ulaznog digitalnog objekta u svrhu provjere predstavljaju li neki od kandidata u konačnici i prave ravnine ili osi simetrije. Kandidati za ravnine i osi simetrije identificiraju se na nekoliko načina, među kojima su analiza glavnih komponenti, uparivanjem određenih entiteta (na primjer točaka), analiza svojstava lokalnih površina, inkrementalna rotacija oko centroida, itd. Neke od prethodnih RPDS studija ograničene su isključivo na otkrivanje ravnine i/ili osi simetrije koje prolaze kroz neku referentnu točku poput ishodišta, težišta, ili središta mase, što je prikladno za detekciju egzaktne, ali ne i aproksimativne simetrije. Kad je riječ o detekciji simetrije u krutim CAD modelima, one je proučavana iz dva aspekta: temeljem značajki ili rubnog prikaza. Prvi način koristi značajke modeliranja, Booleove operacije i povijesti modeliranja za detekciju egzaktne simetrije u pojedinačnim dijelovima i sklopovima. Međutim, taj aspekt ograničen je na izvorne CAD modele koji su vezani uz neki CAD sustav, te može biti osjetljiv na određene loše navike konstruktora koje prakticira prilikom modeliranja (na primjer modeliranje korištenjem viška značajki ili modeliranje simetričnih oblika korištenjem značajki koje nisu izvedene simetrično). Drugi aspekt za ulaz koristi geometrijske i topološke informacije rubnog prikaza, što omogućuje upotrebu izvornih CAD modela kao i neutralnih formata za razmjenu. U svrhu otkrivanja globalne refleksijske i osne simetrije, neke studije predlažu pristup koji se temelji na petljama (zatvoreni krug rubova koji okružuju plohu). Kandidati za ravnine i osi simetrije dobiveni su kao rezultantni vektor dvaju jediničnih normalnih vektora iz identičnih parova petlji, dok su stvarne ravnine i osi simetrije dobivene međusobnom usporedbom kandidata prema kumulativnim površinama petlji. U drugom istraživanju se predlaže tzv. „podjeli pa vladaj“ pristup, koristeći kao ulaz plohe za otkrivanje egzaktne globalne i parcijalne refleksijske i osne simetrije. U prvoj fazi, lokalni kandidati za ravnine i osi simetrije dobivaju se preko lokalnih simetričnih svojstava ploha i njihovih sjecišta, kako bi se u drugoj fazi podudaranjem lokalnih kandidata utvrdila globalna simetrija. Druga studija predlaže pristup za otkrivanje cikličkih područja u parcijalno osno simetričnim modelima koristeći unaprijed dodijeljenu os simetrije za ulaz. Nadalje, u jednoj drugoj studiji korišten je pristup temeljen na grafu za izdvajanje simetričnih područja na različitim geometrijskim mjerilima. Predloženi pristup uključuje detekciju egzaktne refleksijske, rotacijske i translacijske simetrije. Općenito, postojeće studije RPDS-u u CAD modelima s rubnim prikazom imaju nekoliko nedostataka: (1) većina studija je ograničena na analitičke površine, tj. ravne, cilindrične, stožaste, sferne i toroidalne površine, iako kruti CAD modeli često sadrže i numeričke površine, (2) iako su neke RPDS studije uključivale i numeričke površine (B-spline), one su razmatrane samo u kontekstu refleksijske i cikličke simetrije. (2) Stoga su potrebna daljnja istraživanja u tom području kako bi se uključili i drugi tipovi numeričkih površina koji se javljaju u CAD modelima, i (3) parcijalna simetrija je još uvijek nedovoljno istražena te postoji potreba za predlaganjem određene metrike u svrhu detekcije egzaktne globalne, parcijalne i nesimetrije u CAD modelima. U kontekstu spomenutih nedostataka u prethodnim istraživanjima, glavni cilj ovoga doktorskog rada je predložiti metodu i razviti računalno okruženje za detekciju egzaktne globalne i parcijalne refleksijske i osne simetrije u CAD modelima s rubnim prikazom koji sadrže analitičke i numeričke površine. Istraživanje je ograničeno na krute CAD modele s geometrijom mnogostrukosti, kao i na pojedinačne dijelove sa samo jednim tijelom. Shodno tomu, hipoteza istraživanja glasi: Primjenom metode temeljene na geometriji moguće je detektirati t egzaktnu globalnu i parcijalnu refleksijsku i osnu simetriju u CAD modelima s rubnim prikazom koji sadrže analitičke i numeričke površine. Očekivani znanstveni doprinosi istraživanja je: 1) Metoda temeljena na geometriji za detekciju simetrije u CAD modelima koji sadrže analitičke i numeričke površine, i 2) Računalno okruženje za detekciju simetrije u CAD modelima koji sadrže analitičke i numeričke površine. Predložena metoda za RPDS koristi rubni prikaz kao ulaz za detekciju simetrije, dok kao rezultat pruža informaciju o prisutnosti egzaktne globalne ili parcijalne simetrije, te refleksijske ili osne simetrije. Korištenje rubnog prikaza kao ulaz predstavlja općeniti pristup primjenjiv i proširiv na različite CAD sustave i formate datoteka. Predložena metoda sastoji se od šest koraka: (1) interpretacija 3D CAD modela, (2) analiza rubnog prikaza, (3) generiranje kandidata za ravnine i osi simetrije, (4) reduciranje kandidata za ravnine i osi simetrije, (5) evaluacija kandidata za ravnine i osi simetrije i (6) vizualizacija otkrivenih stvarnih ravnina i osi simetrija. Inicijalno je potrebno CAD model interpretirati pomoću odgovarajućeg CAD sustava. Nakon interpretacije, rubni prikaz se podvrgava analizi, koja uključuje klasifikaciju topoloških elemenata (ploha i rubova) prema njihovim osnovnim geometrijskim elementima (vrstama površina i krivulja). Temelj predložene metode detekcije simetrije su plohe, koje kao što je ranije spomenute uključuju i analitičke, također uključuju i numeričke vrste površina (B-spline, zarotirane plohe, itd.). Pri tome RPDS metoda nije ograničena na određene vrste numerički površina, nego zbog svoje općenitosti omogućuje prilagodbu prema vrstama površina koje su specifične za određeni CAD sustav ili CAD format. Osim klasifikacije, u koraku analize rubnog prikaza provodi se izračun specifičnih svojstava ploha. U tu svrhu, svaka ploha se predstavlja jedinstvenom točkom (centroidom ili njegovom projekcijom na plohu), a odgovarajući jedinični vektor normale ili jedinični vektor osi izračunava se u spomenuti točkama. Predložena metoda oslanja se na implicitni (indirektni) pristup detekcije simetrije koji podrazumijeva generiranje određenog skupa kandidata za ravnine i osi simetrije, te njihovu evaluaciju u svrhu detekcije stvarnih ravnina i/ili osi simetrije. Kandidati se u okviru predložene metode generiraju iz glavnih osi inercije (po tri kandidata za ravnine i za osi simetrije), iz parova sličnih ploha, te iz pojedinačnih ploha. Kandidati generirani iz glavnih osi inercije pokrivaju detekciju potencijalno egzaktne globalne simetrije u CAD modelu. Međutim, ti kandidati nisu dovoljni za detekciju ravnina i osi simetrije koji se ne poklapaju s glavnim osim inercije. Primjerice, CAD model može biti višestruko egzaktno globalno ili parcijalno reflektivno simetričan. Da bi se pokrile te vrste simetrije, kandidati se također generiraju i iz parova sličnih ploha, a u uparuju se samo plohe istoga tipa. Metrika koji se koristi za utvrđivanje sličnih ploha je kosinusova sličnost, za čiji se izračun upotrebljavaju rubovi ploha. Svakom rubu se dodjeljuje posebni kôd koji sadrži informacije o vrsti petlji kojoj pripada (vanjskoj ili unutarnjoj), vrsti ruba (linija, kružnica, elipsa, B-spline, itd.), te duljina ruba. Svaki par ploha koji ima kosinusovu sličnost jednaku 1, njegove plohe smatraju se identičnim, a sličnima ako je ispod jedan, a iznad određene granične vrijednosti (npr. 0,7). U konačnici se iz parova simetričnih ploha generiraju kandidati za ravninu simetrije (položaj kandidata ravnine dobiva se iz središnja točke između ploha, dok orijentacija preko jediničnih normala ploha). Posljednja skupina kandidata generira se iz pojedinačnih ploha (cilindričnih, stožastih, itd.) i odnosi se na kandidate za osnu simetriju čime se pokriva eventualno postojanje parcijalne osne simetriju u CAD modelu. Orijentacija kandidata osi dobiva se iz jediničnog vektora osi plohe, a položaj je definiran točkom na osi plohi. Generirani kandidati se prosljeđuju sljedećem koraku. U sljedećem koraku se reducira broj kandidata s ciljem uklanjanja duplikata i neprikladnih kandidata koji su značajno udaljeni od centra gravitacije CAD modela. Svaki od preostalih kandidata za ravnine i osi simetrije evaluira se pomoću vektorskog računa koristeći pri tome specifična svojstva ploha iz koraka analize rubnog prikaza. Ako proces evaluacije pokaže da određeni kandidat za ravninu ili os simetrije doista predstavlja i stvarnu ravninu ili os simetrije, isti se vizualizira u CAD modelu kako bi se inženjeru pružila informacija o simetriji. U okviru studije predložene su dvije metrike za evaluaciju kandidata za ravnine ili osi simetrije u CAD modelima s rubnim prikazom, SFI i GSI. SFI mjeri simetriju topologije, dok GSI mjeri simetriju geometrije u CAD modelu. Pri tome, GSI predstavlja mjeru za definiranje granica između egzaktne globalne, parcijalne simetrije i asimetrije. U okviru doktorskog rada, predložena metoda je implementirana unutar komercijalnog CAD sustava koristeći funkcionalnosti njegovog aplikacijskog programskog sučelja, a kao rezultat toga razvijeno je računalno okruženje. Računalno okruženje se sastoji od grafičkog sučelja, koje omogućuje upravljanje procesom detekcije simetrije kao i post procesuiranje i vizualizaciju simetričnih i nesimetričnih ploha. Također je dokazano da se, zbog svoje općenitosti, metoda može implementirati i u drugim CAD sustavim koji pružaju slične funkcionalnosti aplikacijskog programskog sučelja. Predložena metoda i računalno okruženje za RPDS podvrgnuti su validaciji upotrebom Validation square metode, koja se sastoji od strukturne validacije (koja je kvalitativna) i validacije performansi (koja je kvantitativna). Sama validacija provedena je na reprezentativnom skupu od 1100 CAD modela. Na temelju validacije zaključeno je da metoda omogućuje detekciju simetrije na različitim formatima ulaznih CAD modela (izvorni, Parasolid i STEP). Također, metoda se pokazala robusnom s obzirom na interpretaciju CAD modela (koji mogu poticati iz različitih CAD sustava), što može imati ima minimalan lokalni utjecaj na rezultate detekcije simetrije. Na primjer, u rijetkim situacijama metoda ne može detektirati određene simetrične parove ploha ili samosimetričnih ploha zbog numeričkih grešaka koje nisu unutar ε=10–6 . Nadalje, validacija je otkrila da je predložena metoda omogućuje detekciju simetrije uz visoku točnost od 87% te linearnom računalnom složenošću. Konačno, temeljem validacije, predložena RPDS metoda pokazuje mogućnost proširenja na CAD modele bez mnogostrukosti, pojedinačne CAD modele s višestrukim tijelima, sklopne CAD modele, druge CAD formate (ACIS i IGES), pa čak i druge trodimenzionalne digitalne objekte kao što su rešetkaste konstrukcije. Na temelju svega toga može se zaključiti da je potvrđena hipoteza da se metoda temeljena na geometriji može koristiti za otkrivanje egzaktne globalne i parcijalne refleksijske i osne simetrije u CAD modelima s rubni prikazom koji sadrže analitičke i numeričke površine. Isto tako, predložena RPDS metoda i implementacija metode u obliku razvoja računalnog okruženja, potvrđuju da su ostvareni očekivane znanstveni doprinosi postavljene u okviru ovoga doktorskoga rada. Iako predložena metoda za RPDS predstavlja unaprjeđenje u odnosu postojeće studije, nekoliko je budućih smjerova istraživanja. Prije svega, metoda je ograničena na refleksijsku i osnu simetriju. Kod mehanički dijelova su prisutne i druge vrste simetrije, poput cikličke i diedarske simetrije. Trenutno je ciklička simetrija u kontekstu CAD s modela rubnim prikazom još uvijek nedovoljno istražena, te bi buduća istraživanja mogla ići u smjeru proširenja mogućnosti metode na detekciju cikličke simetrije. Osim toga, metoda bi se mogla poboljšati uvođenjem detekcije lokalne simetrije. Predložena RPDS metoda pokazuje obećavajuće rezultate kada je u pitanju njezino proširenje na CAD modele bez mnogostrukosti, pojedinačne dijelove s višestrukim tijelima, sklopne CAD modele, druge CAD formate (ACIS i IGES), CAD modela sastavljenih predominantno od numeričkih ploha, pa čak i druge trodimenzionalne digitalne objekte kao što su rešetkaste konstrukcije. Iako metoda uključuje numeričke površine, potreban je daljnji nastavak istraživanja vezan uz analizu CAD modela sastavljenih u potpunosti od numeričke geometrije (primjerice karoserija automobila, trup zrakoplova, itd.). U tom kontekstu, dan je prijedlog poboljšanja inicijalno predložene metode. Na posljetku, buduća istraživanja bi trebala uključivati unaprjeđenje računalnog okruženja u svrhu razvoja samostalne aplikacije, kako bi detekcija simetrije postala neovisna o CAD sustavu.